Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 2377
i

ABCDA1B1C1D1  — пря­мой па­рал­ле­ле­пи­пед, объем ко­то­ро­го равен дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 39 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Длины сто­рон AB и BC ос­но­ва­ния ABCD равны ко­рень из 3 и 1 со­от­вет­ствен­но, ко­си­нус угла BCD равен минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . На реб­рах BB1 и B1C1 взяты точки M и N со­от­вет­ствен­но, такие, что BM : MB1  =  3 : 2, B1N : NC1  =  2 : 3. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 16 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­си­нус фи , где φ  — угол между пря­мы­ми MN и CD1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Так как ко­си­нус угла BCD равен минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , синус этого угла равен дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA1B1C1D1 равен

V_ABCDA_1B_1C_1D_1 = BC умно­жить на CD умно­жить на синус \angle BCD умно­жить на CC_1 = ко­рень из 3 умно­жить на 1 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на CC_1 = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 39 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,

от­сю­да CC1  =  3. За­ме­тим, что B1N : B1C1  =  B1M : B1B, сле­до­ва­тель­но, пря­мые MN и BC1 па­рал­лель­ны. Пря­мые CD1 и BA1 также па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, угол между пря­мы­ми MN и CD1 равен углу C1BA1. По­лу­ча­ем:

ко­си­нус \angle CBA = минус ко­си­нус \angle BCD = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,

сле­до­ва­тель­но,

AC в квад­ра­те = 3 плюс 1 минус 2 умно­жить на ко­рень из 3 умно­жить на 1 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = A_1C_1 в квад­ра­те .

Имеем:

BA_1 = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: BB_1 в квад­ра­те плюс B_1A_1 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 плюс 3 конец ар­гу­мен­та = 2 ко­рень из 3 ,

BC_1 = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: BB_1 в квад­ра­те плюс B_1C_1 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та .

При­ме­няя тео­ре­му ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке C1BA1, по­лу­чим:

ко­си­нус \angle C_1BA_1 = дробь: чис­ли­тель: A_1B в квад­ра­те плюс BC_1 в квад­ра­те минус A_1C_1 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на A_1B умно­жить на BC_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 12 плюс 10 минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 2 ко­рень из 3 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 39, зна­ме­на­тель: 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Тогда

16 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­си­нус \angle C_1BA_1 = 16 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 39, зна­ме­на­тель: 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та конец дроби = 78.

Ответ: 78.


Аналоги к заданию № 2315: 2377 Все

Методы геометрии: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра, Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор стереометрии: 1\.5\. Угол между пря­мы­ми, 3\.9\. Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед
Спрятать решение · Прототип задания · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025